Powtórka z optyki (cz. 5)

Optyk powinien znać i lubić optykę, a także potrafić wykorzystać posiadaną wiedzę w rozwiązywaniu różnych problemów, które mogą się pojawiać w jego codziennej pracy.

W ostatnich czterech numerach „Optyka Polskiego” zajmowaliśmy się odświeżaniem podstawowych informacji z zakresu optyki geometrycznej.

Kończąc ten cykl powtórkowy, omówimy – jako jego podsumowanie – kilka szczególnych układów optycznych. W tym celu wykorzystamy naszą świeżo zaktualizowaną wiedzę.
Gdy układ optyczny składa się z dwóch lub kilku soczewek, utworzony przez niego obraz może być przeanalizowany etapowo, czyli przez rozpatrzenie kolejnych obrazów utworzonych przez poszczególne soczewki, wchodzące w skład tego układu. Jest to najprostsza metoda i może ją opanować każdy, kto rozumie działanie soczewki.

Przykład 1
Dwie sferyczne soczewki skupiające o mocach D1 = +10 dpt. i D2 = +4 dpt. zostały umieszczone na wspólnej osi w odległości 40 cm od siebie. W odległości 15 cm przed pierwszą soczewką znajduje się przedmiot. W którym miejscu powstanie obraz utworzony przez układ tych soczewek? Jaki to obraz?
Soczewka o mocy D1 = +10 dpt. posiada ogniskową

Soczewka o mocy D2 = +4 dpt. posiada ogniskową

Odległość pomiędzy soczewkami wynosi l = 40 cm.
Przedmiot znajduje się w odległości x1 = -15 cm od pierwszej soczewki. Zgodnie z przyjętą konwencją odległość przedmiotu od soczewki zaopatrujemy w znak minus.

Określamy najpierw położenie obrazu przedmiotu utworzonego przez pierwszą soczewkę, czyli obrazu pośredniego.
Z równania soczewkowego otrzymujemy:

Obraz utworzony przez pierwszą soczewkę znajduje się w odległości 30 cm za nią, a jednocześnie w odległości 10 cm przed drugą soczewką.
Przyjmując więc x2 = -10 cm, otrzymujemy dla drugiej soczewki:

Zatem układ tworzy obraz przedmiotu pomiędzy soczewkami: w odległości 16,7 cm przed drugą soczewką, czyli 23,3 cm za pierwszą soczewką. Jest to obraz pozorny i odwrócony względem przedmiotu.

Przykład 2
Dwie sferyczne soczewki o mocach D1 = -4 dpt. i D2 = +4 dpt. zostały umieszczone na wspólnej osi w odległości l = 25 cm od siebie. W odległości 15 cm przed pierwszą soczewką znajduje się przedmiot. W którym miejscu powstanie jego obraz utworzony przez układ powyższych soczewek?

Określamy najpierw położenie obrazu pośredniego, utworzonego przez pierwszą soczewkę.
Dla D1 = -4 dpt., f1 = -25 cm oraz x1 = -15 cm, a więc:

Obraz utworzony przez pierwszą soczewkę znajduje się w odległości 9,375 cm przed nią, a 34,375 cm przed drugą soczewką, czyli x2 = -34,375 cm. Stąd:

Ostateczny obraz znajduje się w odległości 91 cm za drugą soczewką.

Lupa – oprócz okularów – jest najczęściej stosowaną pomocą optyczną do bliży. Daje ona obraz pozorny, prosty i powiększony.

Lupą posługują się osoby posiadające dobrą ostrość wzroku, gdy chcą dokładnie widzieć szczegóły oglądanego przedmiotu lub gdy wykonują bardzo precyzyjne czynności. Dla osób słabowidzących lupa jest zwykle pierwszą i niezbędną pomocą optyczną umożliwiającą czytanie.
Powiększeniem kątowym γ lupy nazywa się stosunek tangensa kąta α, pod jakim widać dany przedmiot przez lupę, do tangensa kąta widzenia αo przedmiotu bez lupy, z umownie przyjętej
odległości 250 mm.
Przyjmując założenie, że oglądany przedmiot (np. tekst) został umieszczony blisko ogniska przedmiotowego lupy (x ≈ f), można otrzymać wzór:

Według powyższego przybliżonego wzoru powiększenie lupy o mocy np. D = 16 dpt. wynosi γ = 4 (4×).
Jednak w rzeczywistości powiększenie obrazu otrzymanego za pomocą lupy zależy nie tylko od jej mocy, lecz także od odległości przedmiotu od lupy oraz odległości oka obserwatora od lupy. I chociaż lupa jest jednym z najprostszych sposobów powiększenia obrazu, to praktyczne poinstruowanie słabowidzącego o sposobie posługiwania się nią jest na ogół niezbędne. Ważne, aby używać lupy ręcznej w odległości (od czytanego tekstu) zbliżonej do jej ogniskowej obrazowej. Należy także pouczyć pacjenta z prezbiopią, jak jednocześnie korzystać z lupy i okularów do bliży.

Przykład 3
Rozpatrzmy przykład pacjenta posługującego się lupą o mocy DL = 20 dpt. i stosującego okulary z dodatkiem do bliży DB = 2 dpt.. Odległość lupy od oka pacjenta wynosi d.
Lupa DL i dodatek do bliży DB tworzą układ dwusoczewkowy o mocy:
D = DL + DB – d DL DB

Dla d = 20 cm, D = 20 + 2 – 0,2x20x2 = +14 dpt.
Dla d = 10 cm, D = 20 + 2 – 0,1x20x2 = +18 dpt.
Dla d = 5 cm, D = 20 + 2 – 0,05x20x2 = +20 dpt.

Można łatwo zauważyć, że odległość d = 5 cm jest równa ogniskowej lupy fL = 5 cm.

Z powyższego przykładu wynika, że jeśli wierzchołek rogówki znajdzie się w płaszczyźnie ogniskowej lupy, czyli d = fL, to moc układu lupa + dodatek do bliży nie zależy od DB lub akomodacji.
Również jeżeli czytany tekst znajduje się w odległości ogniskowej od lupy (x = fL),

wielkość obrazu jest stała

i nie zależy od odległości d oka od lupy (jednak wraz ze zmianą d zmienia się pole widzenia).
Lupy z odpowiednią podstawką powinny zapewniać utrzymanie tekstu w odległości zbliżonej do ogniskowej lupy.
Dokonując pewnego uproszczenia, przyjmujemy, że dla osób słabowidzących potrzebne powiększenie γ lupy (lub innego układu optycznego) określa stosunek pożądanej ostrości wzroku Vp (potrzebnej do wykonywania określonej czynności) do aktualnej ostrości wzroku:

Przykład 4
Ostrość wzroku pacjenta (z korekcją) wynosi V = 0,2. Do czytania pewnego tekstu potrzebna jest ostrość wzroku Vp = 0,5. Jaką lupę należy zaproponować temu pacjentowi?

Powiększenie kątowe lupy powinno wynosić:

Moc lupy D = 4γ = 4×2,5 = +10 dpt.

Należy pamiętać, że wraz z rosnącym powiększeniem lupy zmniejsza się średnica pola przedmiotowego, a także odległość pomiędzy oglądanym przedmiotem a lupą oraz odległość między lupą a okiem obserwatora. Wybrane powiększenie powinno być więc tylko tak duże, jak to jest konieczne, aby niepotrzebnie nie zmniejszać odległości obserwacji i pola przedmiotowego.

Szczególnymi przypadkami układów dwusoczewkowych są tzw. bezogniskowe układy Keplera i Galileusza. W układach tych ognisko przedmiotowe f2 drugiej soczewki (okularu) znajduje się w ognisku obrazowym f1 pierwszej soczewki (obiektywu).
Układ Keplera składa się z dwóch soczewek dodatnich, a układ Galileusza jest złożony z soczewki dodatniej i soczewki ujemnej. Układy te znajdują zastosowanie w lunetach (teleskopach), lampach szczelinowych, mikroskopach, a także w mikroskopach operacyjnych.
Układy lunetowe służą także pacjentom słabowidzącym jako optyczne pomoce powiększające do dali, a przy zastosowaniu dodatkowej soczewki nasadkowej – również do bliży.

Powiększenie kątowe lunety wynosi:

gdzie: f1 – ogniskowa obiektywu,
f2 – ogniskowa okularu,
D1 – moc obiektywu,
D2 – moc okularu.
Długość lunety Keplera wynosi l = f1 + f2, a lunety Galileusza l = f1 – f2.
Jak widać na rycinach 4 i 5, obrazy utworzone przez lunety są obrazami pozornymi. Ponadto luneta Keplera tworzy obraz odwrócony i dlatego wymaga zastosowania odpowiedniego pryzmatycznego układu odwracającego.

Przykład 5
W jaki sposób, dysponując soczewkami o mocy D1 = +10 dpt. i D2 = +20 dpt., utworzyć lunetę Keplera?
Soczewki te należy umieścić na wspólnej osi w odległości równej sumie ich ogniskowych, a więc d = f1 + f2 = 10 cm + 5 cm = 15 cm. Soczewka +10 dpt. jest wtedy obiektywem, a soczewka +20 dpt. okularem. Powiększenie kątowe wynosi γ = 2. Jeśli soczewki zamienimy miejscami, tzn. soczewka +20 dpt. będzie obiektywem, a soczewka +10 dpt. okularem, to obraz będzie pomniejszony.

Przykład 6
Dysponując soczewkami D1 = +10 dpt. i D2 = -20 dpt., utwórz lunetę Galileusza.
Soczewki te należy umieścić na wspólnej osi w odległości równej różnicy ogniskowych, a więc d = f1 – f2 = 10 cm – 5 cm = 5 cm. Soczewka +10 dpt. jest obiektywem, a soczewka -20 dpt. okularem. Powiększenie kątowe wynosi γ = 2. Oczywiście, zamiana soczewek miejscami daje obraz pomniejszony.

Lampa szczelinowa, czyli biomikroskop, należy do podstawowego wyposażenia gabinetu okulistycznego. Obecnie posługują się nią także optometryści, zwłaszcza przy dobieraniu soczewek kontaktowych. Lampa szczelinowa jest mikroskopem obuocznym, którego konstrukcja łączy dwie lunety – Keplera i Galileusza. Zastosowana w nim obracana lunetka Galileusza ułatwia zmianę powiększenia obrazu. System oświetleniowy, zawierający specjalną przysłonę szczelinową, pozwala na utworzenie wiązki światła o regulowanej szerokości, wysokości i zmiennym położeniu kątowym. Umożliwia to obserwację oka w różnych optycznych przekrojach przez jego przezierne struktury.
Istotną zaletą biomikroskopu jest to, że układ oświetleniowy i układ obserwacyjny mogą być osobno obracane wokół wspólnej osi.
Ponieważ układ lunety Keplera tworzy obraz odwrócony, w lampie szczelinowej zastosowany jest układ pryzmatów, który pozwala na uzyskanie obrazu prostego. Dzięki temu można jednocześnie obserwować i wykonywać niezbędne czynności w obrębie struktur oka, na przykład usunąć ciało obce z rogówki.
Lampa szczelinowa służy przede wszystkim do stereoskopowej obserwacji odcinka przedniego gałki ocznej. Do badania dna oka należy użyć dodatkowych soczewek sferycznych (Volka) o dużej mocy (60, 78, 90 dpt.), które utworzą jego rzeczywisty i odwrócony obraz w obszarze działania lampy szczelinowej. Okuliści stosują także trójlustro Goldmanna, które jest specjalną soczewką kontaktową zakładaną na rogówkę. Dzięki układowi trzech luster można oglądać dno oka wraz z jego dalekim obwodem, a także kąt tęczówkowo-rogówkowy.

Oftalmoskop bezpośredni pozwala na jednooczną obserwację dna oka. Jego ważnym elementem jest system oświetlający dno oka, zawierający żarówkę i lusterko.

W tej metodzie badający wykorzystuje układ optyczny oka pacjenta jako prostą lupę do obrazowania dna. Jeżeli zarówno badający, jak i pacjent mają oczy miarowe i nie akomodują, promienie światła odbite od siatkówki pacjenta wychodzą z jego oka, tworząc wiązkę równoległą, i są następnie skupiane na siatkówce badającego. W ten sposób przy użyciu wziernika okulistycznego siatkówka badającego staje się sprzężona z siatkówką pacjenta.
Zestaw soczewek pomocniczych zamontowanych w oftalmoskopie służy do kompensacji ewentualnej wady refrakcji pacjenta lub osoby badającej.
Podczas badania oftalmoskopem układ optyczny badanego oka działa jak lupa. Dlatego obraz dna oka jest prosty, a jego powiększenie dla oka miarowego o mocy ok. 60 dpt. wynosi, jak dla lupy, 60/4 = 15. Oznacza to, że siatkówka wydaje się wtedy 15 razy większa niż w przypadku, gdyby została usunięta z oka i oglądana z umownie przyjętej odległości 25 cm. Dla oka krótkowzrocznego powiększenie to jest nieco większe, a dla oka nadwzrocznego mniejsze.
Jeżeli pacjent lub badający mają wadę refrakcji, możliwa jest – podczas wziernikowania – jej korekcja za pomocą wbudowanych w oftalmoskop soczewek sferycznych ustawianych przy użyciu pokrętła. Jeśli oko pacjenta jest krótkowzroczne, wybiera się soczewkę minusową, aby skompensować nadmierną moc układu optycznego oka pacjenta. Układ optyczny oka krótkowzrocznego i ujemna soczewka oftalmoskopu tworzą układ odpowiadający lunecie Galileusza – dają powiększenie większe niż 15×. Podobnie dno oka nadwzrocznego zostanie przez oftalmoskop powiększone mniej niż 15× z powodu odwróconego efektu lunety Keplera.

Oftalmoskop pośredni, zwany wziernikiem Fisona, pozwala na precyzyjną, stereoskopową lokalizację zmian na dnie oka w trakcie jego badania, a także podczas wykonywania zabiegów (np. operacji odwarstwienia siatkówki). Oftalmoskop pośredni umożliwia także badanie dna oka u wcześniaków oraz przeprowadzenie laseroterapii w przypadkach retinopatii wcześniaczej.

Wziernik Fisona tworzą specjalne okulary, które wraz ze źródłem światła są przytwierdzone do kasku na głowie badającego. Urządzenie to umożliwia optyczne sprzężenie źrenicy oka badanego ze źrenicami oczu osoby badającej. Soczewka diagnostyczna (+20 dpt.) służy do oświetlenia dna badanego oka oraz do utworzenia jego przestrzennego obrazu przed okiem badanym. Właśnie ten obraz (odwrócony, około 5 cm od soczewki) obserwuje obuocznie badający.

Warto wspomnieć, że zamiast etapowego analizowania układu optycznego złożonego z kilku soczewek można – posługując się tzw. punktami kardynalnymi (para płaszczyzn głównych, para ognisk i para punktów węzłowych) – obliczyć równoważny układ optyczny. Pozwala to znaleźć położenie obrazu przy różnych położeniach przedmiotu przez wykonanie krótszych obliczeń.

Jak zwykle na zakończenie kilka pytań sprawdzających. Serdecznie zapraszam.

Pytanie 1
Soczewki sferyczne o mocy D1 = -1 dpt. i D2 = +1,5 dpt. zostały umieszczone na wspólnej osi w odległości 1,5 m od siebie. W odległości 1 m od pierwszej soczewki umieszczono przedmiot. Gdzie znajduje się obraz przedmiotu utworzony przez powyższy układ?
Pytanie 2
Przedmiot znajduje się w odległości 10 cm przed soczewką sferyczną o mocy D = +20 dpt.. Gzie powstaje jego obraz? Jaki to obraz?
Pytanie 3
Dwie soczewki sferyczne o mocach D1 = +10 dpt. i D2 = +25 dpt. znajdują się w odległości 14 cm od siebie. Ile wynosi moc tego układu?
Pytanie 4
Moc lupy wynosi 28 dpt. Określ jej powiększenie kątowe.
Pytanie 5
Po skorygowaniu okularami ostrość wzroku pacjenta słabowidzącego wynosi 0,1.
Ile powinno wynosić powiększenie lupy, aby pacjent ten mógł czytać tekst wymagający ostrości wzroku 0,6?

W tym roku przypada 170. rocznica wynalezienia przez Hermanna Helmholtza wziernika ocznego, czyli oftalmoskopu bezpośredniego. Oftalmoskop ten umożliwia najprostszy, najłatwiejszy i choć najstarszy, to nadal powszechnie stosowany sposób przyżyciowego badania dna oka. Metoda ta jest stosowana nie tylko przez okulistów i optometrystów, ale także przez lekarzy innych specjalności, którzy są zainteresowani stanem dna oka, czyli np. przez: neurologów, neurochirurgów czy internistów.

Ryc. 1.

 

Ryc.2.

 

Ryc. 3. Obraz utworzony przez lupę S – lupa, F, F’ – ogniska, AB – przedmiot, A’B’ – obraz, γ – powiększenie kątowe.

Ryc. 4. Bieg promieni w lunecie Keplera: S1– obiektyw, S2 – okular, F1,F1′ – ogniska obiektywu, F2, F2′ – ogniska okularu, AB – przedmiot, A’B’ – obraz, I – długość lunety.

Ryc. 5. Bieg promieni w lunecie Galileusza: S1– obiektyw, S2 – okular, F1,F1′ – ogniska obiektywu, F2, F2′ – ogniska okularu, AB – przedmiot, A’B’ – obraz, I – długość lunety.

Ryc. 6. Schemat budowy lampy szczelinowej: 1 – obiektyw biomikroskopu wspólny dla obu układów teleskopowych, 2 – obrotowa lunetka Galileusza, która zmienia powiększenie, 3 – układ pryzmatów, 4 – okular, O – szczelinowy układ oświetlający, P – oko badane, B – oko badającego.

Ryc. 7. Schemat działania oftalmoskopu bezpośredniego: B – oko badającego, P – oko badane, L – lusterko, Z – żarówka.

Ryc. 8. Schemat działania wziernika Fisona: P – oko badane, S – soczewka tworząca przestrzenny obraz (O) dna przed badanym okiem, U – układ pryzmatów przenoszący obraz dna badanego oka do obu oczu (B) badającego, Z – źródło światła.

Prawidłowe odpowiedzi:

Pyt. 1. W odległości 1 m za drugą soczewką.
Pyt. 2. 10 cm za soczewką, obraz rzeczywisty, odwrócony, równy.
Pyt. 3. 0.
Pyt. 4. 7×.
Pyt. 5. 6×.

dr n. med. Andrzej Styszyński
Okulista, ekspert Krajowej Rzemieślniczej Izby Optycznej

 

Polecamy