Powtórka z optyki (CZ. 4)

W poprzednich numerach „Optyka Polskiego” omawialiśmy – w ramach naszej „powtórki” – powstawanie obrazów w prostych układach, jakimi są soczewki sferyczne, cylindryczne czy toryczne.

Jak się przekonaliśmy, analiza tworzenia obrazu przez soczewkę sferyczną, zwłaszcza przybliżeniu soczewki cienkiej, wymaga wykreślenia dwóch lub trzech promieni świetlnych. Jednocześnie przyjmujemy, że soczewka ta odwzorowuje punkt jako punkt, prostą jako prostą, płaszczyznę jako płaszczyznę. Posługujemy się także przybliżonym wzorem, który dla soczewki mocy D jednoznacznie określa zależność między odległością przedmiotu x obrazu y od soczewki.

Takie przedstawienie działania soczewki jest uproszczone, ale dzięki temu przydatne do rozwiązania konkretnego problemu. Jednak idealna transformacja przestrzeni przedmiotowej przestrzeń obrazową jest trudna do osiągnięcia, gdyż rzeczywiste soczewki są obarczone „niedoskonałościami”. Te wady odwzorowań nazywamy aberracjami teraz się nimi zajmiemy. Oczywiście powinniśmy mieć świadomość, że aberracje nie są spowodowane niestarannym wykonaniem soczewki. gruncie rzeczy są one konsekwencją uproszczeń, które przyjęto przy wyprowadzaniu różnych zależności. Można powiedzieć, że uproszczone wzory przedstawiają „wyidealizowaną rzeczywistość”.

Na przykład: dla kątów padania α załamania β zamiast

 przyjęto .

matematycznym opisie biegu promieni świetlnych stosuje się przybliżenia nazywane przybliżeniem małego kąta, przybliżeniem przyosiowym lub przybliżeniem pierwszego rzędu. Wiąże się to rozwinięciem wielomianowym funkcji sinus:

gdzie kąt α jest wyrażony mierze łukowej, czyli radianach.

Dla małych wartości kąta α drugi, trzeci każdy następny wyraz powyższego wielomianu jest nieistotny. Wtedy można przyjąć: sinα~α stąd określenie “przybliżenie pierwszego rzędu”. Przybliżenie to zastosowaliśmy przy wyprowadzeniu wzoru określającego kąt odchylenia promienia świetlnego przez pryzmat: ε = (n-1)φ, także wzoru określającego moc powierzchni sferycznej:

Przyjmując dokładniejsze przybliżenie

Filip Seidel opisał pięć podstawowych aberracji geometrycznych, które są dziś nazywane monochromatycznymi aberracjami trzeciego rzędu Seidla. Są to: aberracja sferyczna, koma, astygmatyzm wiązki skośnej, krzywizna pola dystorsja.

Poza powyższymi aberracjami monochromatycznymi występuje także aberracja chromatyczna wynikająca faktu, że światło białe jest mieszaniną barw, którym odpowiadają fale długościach λ ε (380,740) nm , współczynnik załamania światła wykazuje dyspersję, czyli zależność od długości fali.

Ryc. 1. Obraz utworzony przez sferyczną soczewkę skupiającą.

Ryc. 2. Aberracja sferyczna Δf – odległość między ogniskiem dla promieni przyosiowych a ogniskiem dla promieni skrajnych.

Ryc. 3. Przysłona zmniejszająca aberrację sferyczną.

 

Aberracja sferyczna

Tę aberrację pamiętamy zwykle lekcji fizyki szkole średniej, gdy omawiano działanie soczewek. Aberracja sferyczna polega na tym, że promienie równoległe do osi, biegnące dalej od niej, skupiają się bliżej soczewki niż promienie biegnące blisko osi.

wyniku tego obraz punktu jest rozmazany. Miarą aberracji sferycznej jest odległość między ogniskiem dla promieni przyosiowych ogniskiem dla promieni skrajnych – aberracja podłużna Δf’. Aberrację sferyczną można mierzyć także poprzecznie do osi – płaszczyźnie przechodzącej przez ognisko przyosiowe (aberracja poprzeczna b). Aberrację sferyczną można zminimalizować układach optycznych przez zastosowanie odpowiednich przysłon.

przypadku soczewek okularowych aberrację sferyczną minimalizuje się przez zastosowanie powierzchni asferycznej. Obrót okręgu wokół średnicy tworzy powierzchnię sferyczną. Natomiast powierzchnia asferyczna może powstać wyniku obrotu odpowiedniej krzywej stożkowej: elipsy, hiperboli lub paraboli.

Soczewki sferyczne konstrukcji asferycznej posiadają obszarach peryferyjnych dłuższy promień krzywizny powierzchni r niż obszarach centralnych, to – zgodnie

ze wzorem

– pozwala na zredukowanie aberracji sferycznej. Podobnie można modyfikować konstrukcje soczewek torycznych; mówimy wtedy soczewkach atorycznych.

Koma

Promienie świetlne – padające punktu położonego poza osią soczewki – po przejściu przez nią tworzą nieostry obraz pozbawiony symetrii obrotowej, kształtem przypominający przecinek lub kometę. Stąd nazwa tej aberracji – koma. układach optycznych zmniejszenie komy można osiągnąć przez zastosowanie przysłon.

Astygmatyzm wiązki skośnej

Astygmatyzm wiązki skośnej polega na tym, że wiązka skośna padająca na soczewkę sferyczną pod kątem α względem jej osi nie skupia się jednym punkcie, lecz dwóch do siebie prostopadłych odcinkach, pomiędzy którymi tworzy się kółko najmniejszego rozmycia, więc podobnie jak dla soczewki torycznej. Obwiednia takiej wiązki daje charakterystyczną figurę, nazywaną konoidą Sturma, obrazy punktów – utworzonych przez wiązki skośne przechodzące przez soczewkę sferyczną – wykazują rozmycie postaci elipsy. Astygmatyzm wiązki skośnej soczewki sferycznej można minimalizować, dobierając odpowiednio promienie krzywizny jej powierzchni. Należy podkreślić, że astygmatyzm soczewki torycznej jest traktowany jako aberracja. Jest on „zaplanowanym” astygmatyzmem poosiowym, który przypadku torycznych soczewek okularowych służy do korekcji astygmatyzmu oka.

Ryc. 4. Obrót paraboli y2 = 2Rox wokół osi x tworzy odpowiednią powierzchnię asferyczną.

Ryc. 5. Koma. Obraz nieosiowego punktu P utworzony przez soczewkę sferyczną kształtem przypomina przecinek.

Ryc. 6. Astygmatyzm wiązki skórnej.

Ryc. 7. Krzywizna pola, powierzchnia Petzvala dla soczewki dodatniej (a) i ujemnej (b).

 

 

Krzywizna pola

przybliżeniach pierwszego rzędu przyjmujemy, że obraz płaskiego przedmiotu, utworzony przez soczewkę sferyczną, jest również płaski. rzeczywistości obraz powstaje na powierzchni, której promień krzywizny zależy od mocy soczewki jej współczynnika załamania.

Powierzchnia ta nosi nazwę powierzchni Petzvala. Jej promień krzywizny wynosi:

rp= nf’, gdzie:

n – indeks materiału soczewki,

f’ – ogniskowa obrazowa soczewki.

Krzywizna pola sprawia, że szczegóły obrazu położone dalej od osi są rozmazane. Dla soczewki dodatniej powierzchnia Petzvala jest wklęsła (rp < 0), dla soczewki ujemnej – wypukła (rp > 0). Przez odpowiedni dobór wielkości promieni krzywizny pierwszej drugiej powierzchni soczewki można zmniejszyć krzywiznę pola obrazu, ale wiąże się to ze zwiększeniem astygmatyzmu wiązki skośnej. Dlatego odpowiednia konstrukcja soczewek okularowych powinna być wynikiem kompromisu pomiędzy tymi dwiema aberracjami.

Dystorsja

Dystorsja wynika zależności powiększenia poprzecznego obrazu od kąta nachylenia wiązki światła względem osi optycznej soczewki sferycznej. rezultacie obraz kwadratowego przedmiotu wykazuje charakterystyczne zniekształcenie – poduszkowate lub beczkowate. Jeżeli powiększenie poprzeczne rośnie wraz kątem nachylenia wiązki, to występuje dystorsja poduszkowata, jeżeli maleje – beczkowata. Na wielkość dystorsji znacząco wpływa wielkość położenie przysłony. Przysłona ustawiona przed soczewką dodatnią może wywołać dystorsję beczkowatą, przysłona za soczewką dodatnią – dystorsję poduszkowatą. przypadku soczewki ujemnej jest odwrotnie. Dla soczewek okularowych funkcję przysłony pełni tęczówka, więc ewentualna dystorsja soczewki okularowej dodatniej będzie poduszkowata, ujemnej – beczkowata.

Astygmatyzm wymaga zastosowania korekcji sferyczno-cylindrycznej, czyli soczewki torycznej. Niekiedy pojawia się nietolerancja takiej korekcji, głównym jej powodem jest dystorsja wywołana nierównym powiększeniem obrazu na siatkówce różnych południkach. Ten rodzaj dystorsji przejawia się zmianą kształtu przedmiotów – inną niż dystorsja poduszkowata czy beczkowata. Wyeliminowanie nietolerancji zastosowanego cylindra, zwłaszcza starszych pacjentów, którzy wcześniej nie stosowali soczewek torycznych, może być skutecznie przeprowadzone tylko przez doświadczonego optyka okularowego lub optometrystę.

Ryc. 8. Dystorsja sferycznej soczewki okularowej.

Ryc. 9. Aberracja chromatyczna: b – światło białe, Fc’ – ognisko dla barwy czerwonej, F1′ – ognisko dla barwy fioletowej.

 

Aberracja chromatyczna

Dyspersja współczynnika załamania światła sprawia, że światło białe, przechodząc przez soczewkę, ulega rozszczepieniu.

Dla barwy fioletowej ognisko położone jest najbliżej soczewki, dla barwy czerwonej najdalej, więc moc soczewki zależy od długości (częstotliwości) fali. Głównym sposobem minimalizacji aberracji chromatycznej, zwłaszcza soczewkach okularowych, jest stosowanie materiałów dużej liczbie Abbego:

LA = (nż – 1):(nf – nc), gdzie nż – indeks dla barwy żółtej, nf – indeks dla barwy fioletowej, nc – indeks dla barwy czerwonej.

innych układach optycznych można zastosować soczewki pryzmaty achromatyczne, więc nierozszczepiające, wykonane dwóch rodzajów szkła różnych współczynnikach załamania.

Optycy okularowi optometryści powinni mieć świadomość tego, że rodzaj konstrukcji soczewki okularowej wpływa istotny sposób na jakość obrazu utworzonego na siatkówce oka że soczewkach okularowych może wystąpić łączne działanie wszystkich aberracji. Dzieje się tak dlatego, że soczewka okularowa tworzy okiem szczególny układ optyczny. Specyfika tego układu polega na tym, że soczewka okularowa jest nieruchoma, natomiast gałka oczna porusza się, czyli oś optyczna (oś widzenia) oka tworzy osią soczewki okularowej co chwila inny kąt. Gdy oko patrzy przez peryferyjne obszary soczewki okularowej, wpływ aberracji na jakość obrazu jest znaczny. Dlatego głównym celem projektowania współczesnych soczewek okularowych jest takie zminimalizowanie aberracji, aby zapewnić użytkownikom okularów dobry komfort widzenia. Dla osiągnięcia tego celu należy odpowiednio dostosować dla soczewki określonej mocy krzywiznę pierwszej drugiej powierzchni.

przemyśle okularowym produkowane są obecnie tzw. soczewki meniskowe, czyli wypukło-wklęsłe. Przednia powierzchnia, nazywana bazową, jest wypukła, tylna jest wklęsła. Moc powierzchni bazowej D1 stanowi podstawę, od której oblicza się moc drugiej powierzchni D2. Rycina 11 przedstawia zależność pomiędzy mocą soczewki D mocą przedniej powierzchni D1 dla soczewek różnej konstrukcji.

Ryc. 10. Pryzmat achromatyczny i soczewka achromatyczna.

Ryc. 11. Zależność między mocą powierzchni przedniej (bazowej) D1 a mocą soczewki D dla soczewek sferycznych o różnej konstrukcji. I – soczewki płasko-wklęsłe (plano-concave) i płasko-wypukłe (plano-convex); II – soczewki dwuwklęsłe (bi-concave) i dwuwypukłe (bi-convex); III – soczewki wklęsło-płaskie i soczewki wypukło-płaskie; IV – elipsa Tscherninga dla soczewek o konstrukcji meniskowej, w której druga powierzchnia (wklęsła) soczewki ma zawsze moc ujemną o wartości bezwzględnej mniejszej od mocy pierwszej powierzchni dla soczewek dodatnich (ID2I < ID1I) i większej dla soczewek ujemnych (ID2I > ID1I).

 

Jest dla nas rzeczą oczywistą, że soczewka określonej mocy wykonana ze szkła indeksie n może mieć teoretycznie dowolną liczbę rozwiązań konstrukcyjnych. Obliczenia pozwalające określić dla soczewki mocy D moc jej przedniej powierzchni D1, przy której astygmatyzm wiązki skośnej redukuje się prawie do zera, zostały przeszłości przeprowadzone przez Tscherninga, Wollastona Ostwalda. Soczewkom wypukło-wklęsłym zminimalizowanym astygmatyzmie wiązki skośnej odpowiada na wykresie tzw. elipsa Tscherninga. Górna część elipsy reprezentuje rozwiązania Wollastona – soczewki meniskowe większym wygięciu, dolna część elipsy rozwiązania Ostwalda – soczewki mniejszym wygięciu. Położenie kształt elipsy zależą od indeksu materiału, którego wykonane są soczewki, od odległości soczewki okularowej od oka. Konstrukcja Ostwalda jest bardziej płaska łatwiejsza produkcji, dlatego ten typ okularowych soczewek sferycznych jest najczęściej produkowany.

Korzystając ryciny 11, rozpatrzymy przykłady różnych konstrukcji przybliżeniu soczewki cienkiej dla soczewki mocy D = -10,00 dpt., wykonanej ze szkła indeksie n = 1,5.

Przykład 1

Soczewka płasko-wklęsła (I):

moc przedniej powierzchni D1 = 0, promień krzywizny przedniej powierzchni r1 = ∞,

moc tylnej powierzchni D2 = -10 dpt.,

promień krzywizny tylnej powierzchni


Przykład 2

Soczewka dwuwklęsła (II):

moc przedniej powierzchni D1 = -5 dpt.,

promień krzywizny przedniej powierzchni,

moc tylnej powierzchni D2 = -5 dpt.,

promień krzywizny tylnej powierzchni

 

Przykład 3

Soczewka wklęsło-płaska (III):

moc przedniej powierzchni D1 = -10 dpt.,

promień krzywizny przedniej powierzchni

moc tylnej powierzchni D2 = 0, promień krzywizny tylnej powierzchni r2 = ∞.

 

Przykład 4

Soczewka meniskowa Ostwalda (IV):

moc przedniej powierzchni D1 = +3 dpt.,

promień krzywizny przedniej powierzchni

moc tylnej powierzchni D2 = -13 dpt.,

promień krzywizny tylnej powierzchni

Na koniec warto podkreślić, że natura dobrze poradziła sobie minimalizacją aberracji układu optycznego oka. Obecność przysłony – jaką tworzy tęczówka – sprawia, że aberracja sferyczna jest nieznaczna. Istotne jest również to, że tęczówka znajduje się wewnątrz układu optycznego oka, czyli pomiędzy rogówką soczewką (podobnie jak przysłona obiektywie aparatu fotograficznego), dzięki czemu eliminowana jest dystorsja. Część receptorowa oka (siatkówka) tworzy powierzchnię wklęsłą, która odpowiada powierzchni Petzvala, przez co następuje kompensacja krzywizny pola.

Także aberracja chromatyczna oku człowieka jest niewielka, gdyż wszystkie elementy jego układu optycznego charakteryzują się dużą zawartością wody, dla której liczba Abbego jest dość wysoka (LA = 53).

Na KONIEC kilka pytań sprawdzających.

Serdecznie zapraszam!

Pytanie 1
Zmierzono wartości indeksu szkła SF4 otrzymano dla barwy czerwonej, żółtej fioletowej następujące wyniki: nc = 1,739; nż = 1,755; nf = 1,810.
Ile wynosi liczba Abbego dla tego szkła?

Pytanie 2
Określ wartości promieni krzywizny przedniej tylnej powierzchni soczewki płasko-wklęsłej mocy D = -5,00 dpt., wykonanej materiału indeksie n = 1,6.

Pytanie 3
Określ wartości promieni krzywizny przedniej tylnej powierzchni soczewki dwuwklęsłej mocy D = -5,00 dpt., wykonanej materiału indeksie n = 1,4.

Pytanie 4
Korzystając ryc. 11, określ wartości promieni krzywizny przedniej tylnej powierzchni soczewki meniskowej konstrukcji Ostwalda mocy
D = – 5,00 dpt., wykonanej 
materiału indeksie n = 1,5.

Pytanie 5
Ile wynosi wygięcie powyższej soczewki?

dr n. med. Andrzej Styszyński

Okulista, ekspert Krajowej Rzemieślniczej Izby Optycznej

Prawidłowe odpowiedzi:
Pyt. 1. LA = 10,6
Pyt. 2. r1 = ∞, r2 = 12 cm
Pyt. 3. r1 = -16 cm, r2 = 16 cm
Pyt. 4. r1 = 10 cm, r2 = 5 cm
Pyt. 5. = D1 – D2 = 15 dpt.

Polecamy