Powtórka z optyki (cz.III)

Kontynuując – rozpoczęty w poprzednim numerze „Optyka Polskiego” – cykl przeglądu podstawowych problemów optyki okularowej, będziemy obecnie zajmować się soczewkami.

optyce okularowej stosowane są różne soczewki. Ze względu na różną geometrię ich powierzchni określamy je jako soczewki: sferyczne, cylindryczne, toryczne, także asferyczne, atoryczne. Ponadto coraz powszechniej stosowane są soczewki okularowe złożonej konstrukcji, do których należą przede wszystkim soczewki progresywne.

Dla zrozumienia działania opanowania elementarnego opisu matematycznego konstrukcji soczewek przydatne jest rozpatrzenie załamania światła na powierzchni sferycznej rozgraniczającej dwa ośrodki współczynnikach załamania (indeksach) n1 n2.

Między zaznaczonymi na powyższej rycinie kątami zachodzą zależności:

α = γ + δ

β = γ – ε

Jeżeli zastosujemy przybliżoną postać prawa załamania światła: n1α = n2β, to po prostych przeliczeniach otrzymujemy podstawową bardzo ważną dla optyków zależność:

Wyrażenie  określa zdolność skupiającą (moc) sferycznej powierzchni o promieniu krzywizny r, która rozdziela ośrodki współczynnikach załamania n1 n2.

Rozpatrzmy teraz najprostszy przykład – dwuwypukłą soczewkę sferyczną promieniach krzywizny powierzchni przedniej r1 powierzchni tylnej r2, która jest wykonana ze szkła indeksie n2 = n znajduje się powietrzu (n1 = 1). Jeżeli założymy ponadto, że jest to soczewka cienka, to powyższych zależności otrzymujemy:

– moc przedniej powierzchni,

– moc tylnej powierzchni,

– moc soczewki.

Ryc. 1. Załamanie światła na powierzchni sferycznej rozgraniczającej ośrodki różnych indeksach n1 n2.

Ryc. 2. Zmiana zbieżności wiązki promieni przy przejściu przez soczewkę dodatnią.
– punktowe źródło światła; A’ – obraz punktu utworzony przez soczewkę; x – odległość punktu
od soczewki; y – odległość obrazu A’ od soczewki.

 

Otrzymujemy dla soczewki także wzór Kartezjusza – określający związek między odległością x przedmiotu od soczewki, odległością y obrazu od soczewki, jej mocą D lub ogniskową f’:

 

Warto przypomnieć, że optyce geometrycznej, zwłaszcza optyce okularowej, przyjmuje się następujące (bardzo praktyczne) reguły znaków:

1. Odległość od jednego punktu leżącego na osi optycznej do drugiego jest dodatnia, jeżeli jest mierzona zgodnie kierunkiem biegu światła, ujemna, gdy jest mierzona kierunku przeciwnym.

2. Promień krzywizny jest dodatni, gdy powierzchnia jest zwrócona wypukłością do światła padającego, a w przeciwnym wypadku – ujemny.

3. Soczewki skupiające (dodatnie) mają ogniskową dodatnią, soczewki rozpraszające (ujemne) – ujemną, przy czym mówiąc ogniskowej bez dodatkowych objaśnień mamy na myśli ogniskową obrazową.

Soczewką cienką nazywamy soczewkę, której grubość jest mała porównaniu z wielkością promieni krzywizny jej powierzchni lub długością ogniskowej. Na schematycznych rysunkach cienkie soczewki przedstawia się zwykle postaci strzałek dwustronnych.

Soczewką cienką nazywamy soczewkę, której grubość jest mała porównaniu z wielkością promieni krzywizny jej powierzchni lub długością ogniskowej. Na schematycznych rysunkach cienkie soczewki przedstawia się zwykle postaci strzałek dwustronnych.

Na rycinie 6 został zaprezentowany sposób wykreślania obrazów dla cienkiej soczewki skupiającej. Ta prosta konstrukcja graficzna pozwala określić charakterystykę obrazu jak widać, soczewka dodatnia – zależności od odległości przedmiotu – może tworzyć różne obrazy. Natomiast sferyczna soczewka ujemna, czyli rozpraszająca, tworzy tylko obrazy pozorne, proste, pomniejszone.

 

Ryc. 3. Soczewka sferyczna: a) dwuwypukła; b) dwuwklęsła
r₁, r₂ – promienie krzywizny; o₁, o₂ – środki krzywizny.

 

Ryc. 4. Położenie ognisk soczewki skupiającej:
F – ognisko przedmiotowe, F’ – ognisko obrazowe.
Ryc. 5. Położenie ognisk soczewki rozpraszającej: F – ognisko przedmiotowe, F’ – ognisko obrazowe.

Ryc. 6. Przypadki położenia przedmiotu obrazu dla soczewki skupiającej:
a) przedmiot nieskończenie odległy, obraz utworzony ognisku, rzeczywisty, punktowy; b) obraz rzeczywisty, pomniejszony, odwrócony; c) obraz rzeczywisty, naturalnej wielkości, odwrócony;
d) obraz rzeczywisty, powiększony, odwrócony;
e) obraz nieskończenie odległy nieskończenie duży; f) obraz pozorny, powiększony, prosty.

 

Czas najwyższy na przykłady!

Przykład 1.:

Ile wynosi moc dwuwypukłej soczewki sferycznej promieniach krzywizny odpowiednio:

r1 = 10 cm = 0,1 m r2 = -20 cm = -0,2 m, wykonanej ze szkła indeksie n = 1,5?

Przy założeniu, że soczewka znajduje się powietrzu, otrzymujemy:

Przykład 2.:

Ile wynosi moc dwuwklęsłej soczewki sferycznej promieniach krzywizny
r1 = – 40 cm = – 0,4 m r2 = 20 cm = 0,2 m, wykonanej ze szkła indeksie n = 1,6?

Soczewka ta powietrzu ma moc:

Przykład 3.:

Przedmiot znajduje się odległości 50 cm od soczewki mocy +8 dpt.

jakiej odległości od soczewki powstaje jego obraz? Jaki to obraz ile wynosi jego powiększenie liniowe?

Aby odpowiedzieć na te pytania, korzystamy wzoru Kartezjusza:

, przy czym ,

powiększenie liniowe 

naszym przykładzie x = -50 cm, f’ = m = 12,5 cm, więc:

Ponieważ przedmiot znajduje się odległości większej niż dwie ogniskowe, obraz jest rzeczywisty, odwrócony pomniejszony.

Ryc. 7. Obraz utworzony przez soczewkę rozpraszającą.

Dotychczasowe rozważania prowadzą nas do oczywistego wniosku, że soczewka określonej mocy D może być wykonana danego materiału indeksie n na dowolną liczbę sposobów, czyli przy różnych wartościach mocy pierwszej powierzchni D1 drugiej powierzchni D2więc przy różnych wartościach odpowiednich promieni krzywizny r1 r2.

Ryc. 8. Przykłady różnych rozwiązań konstrukcyjnych dla soczewki mocy D = +10 dpt.

Rycina 8 przedstawia poglądowo kilka możliwych rozwiązań konstrukcyjnych dla przykładowej soczewki skupiającej mocy D = +10 dpt. Poszczególne soczewki mają tę samą moc, różnią się wygięciem = D1 + D2. Podobne poglądowe przedstawienie dla przykładowej soczewki mocy
D = -10 dpt. zawiera rycina 9.

przemyśle okularowym są obecnie produkowane tzw. soczewki meniskowe, czyli soczewki wypukło-wklęsłe. Przednia powierzchnia – nazywana powierzchnią bazową – jest wypukła, tylna jest wklęsła. Konstrukcja meniskowa pozwala na takie zminimalizowanie różnych aberracji, które użytkownikowi okularów zapewni odpowiedni komfort widzenia.

Ryc. 9. Przykłady różnych rozwiązań konstrukcyjnych dla soczewki mocy D = -10 dpt.

Dlatego przyszłości będziemy omawiać także aberracje soczewek okularowych.

Na zakończenie proponuję kilka pytań, które pozwolą Czytelnikowi sprawdzić stopień opanowania materiału poprzedniego obecnego numeru „Optyka Polskiego”.

Gorąco namawiam, „żeby nam się chciało chcieć” zapraszam!

Pytanie 1.

Ile wynosi prędkość światła diamencie, jeżeli jego indeks n = 2,42?

Pytanie 2.

Określ dioptriach pryzmatycznych pryzmatu ze szkła indeksie n= 1,6 kącie łamiącym φ = 10o.

Pytanie 3.

Ile wynosi moc soczewki, jeżeli jej ogniskowa f = 25 cm?

Pytanie 4.

Określ moc wygięcie soczewki meniskowej promieniach krzywizny
r1 = 5 cm r2 = 10 cm,

wykonanej ze szkła indeksie n = 1,5.

Pytanie 5.

Przedmiot znajduje się odległości 5 cm przed soczewką mocy +12 dpt.

którym miejscu powstanie obraz, jaki to obraz ile wynosi jego powiększenie?

Prawidłowe odpowiedzi:

1. 123967 km/s.

2. 10,5 pdpt.

3. 4 dpt.

4. D = 5 dpt., = 15 dpt.

5. Obraz powstanie odległości 12,5 cm przed soczewką (y = -12,5 cm). Jest to obraz pozorny, prosty, powiększony 2,5-krotnie.

Dr n. med. Andrzej Styszyński

Okulista, ekspert Krajowej Rzemieślniczej Izby Optycznej

Polecamy